Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

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2

x²-（1+a）x，若f（x）≥0在定義域內(nèi)恒成立，求a．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由于f（1）=-

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-a，當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．當(dāng)a≤0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上取得最小值為
f（1）=-

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2

-a，由最小值大于等于0求得a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=alnx+

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x²-（1+a）x，得f（1）=-

1

2

-a，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，
此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=

a

x

+x-（1+a），x＞0，
若0＜x＜1，則f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；
若x＞1，則f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=-

1

2

-a，
由f（1）≥0，解得a≤-

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，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

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2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和分類(lèi)討論思想的靈活運(yùn)用，是中檔題．