Question

在一個(gè)正方體中，各棱、各面對(duì)角線和體對(duì)角線中共有多少對(duì)異面直線？

Answer 1

錯(cuò)解：一個(gè)正方體中有12條棱、12條面對(duì)角線和4條體對(duì)角線，這些棱、面對(duì)角線和體對(duì)角線共可組成對(duì)直線.又一個(gè)正方體中有底面和側(cè)面共6個(gè)，對(duì)角面6個(gè)，每個(gè)面都有6條直線，底面、側(cè)面和對(duì)角面共12個(gè)面的每一個(gè)面中任兩條直線不能構(gòu)成異面直線.

∴正方體共有-12=198對(duì)異面直線.

分析：以上解答只考慮了正方體中底面、側(cè)面、對(duì)角面中的直線不能構(gòu)成異面直線，而忽視了一些雖不是同在上述各面上但共點(diǎn)的直線也不能構(gòu)成異面直線的特殊情況，即8個(gè)頂點(diǎn)中過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線不能構(gòu)成異面直線，故共有-12-8=174對(duì)異面直線.