Question

如圖，△ABD和△BCD都是等邊三角形，E、F、O分別是AD、BD、AC的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)；
（1）求證：BD⊥FG；
（2）求證：FG∥平面BOE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AF和CF，根據(jù)F為BD的中點(diǎn)，△ABD和△BCD都是等邊三角形，進(jìn)而可知BD⊥AF，BD⊥CF，同時(shí)AF∩CF=F，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD⊥平面AFC，則可推斷出BD⊥FG．
（2）設(shè)BE和AF交于點(diǎn)H，連接OH，在等邊三角形△ABD中，E、F分別是AD、BD的中點(diǎn)，則可推斷出H為重心，根據(jù)重心的性質(zhì)可推斷出，同時(shí)O為AC中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，進(jìn)而可推斷出根據(jù)比例線段的性質(zhì)可知HO∥FG，最后根據(jù)FG∉平面BOE，HO?平面BOE，推斷出FG∥平面BOE．
解答：證明：（1）連接AF和CF，因?yàn)镕為BD的中點(diǎn)，△ABD和△BCD都是等邊三角形，
所以BD⊥AF，BD⊥CF，
又AF∩CF=F，
所以BD⊥平面AFC，
又FG?平面AFC，
所以BD⊥FG．
（2）設(shè)BE和AF交于點(diǎn)H，連接OH，
在等邊三角形△ABD中，E、F分別是AD、BD的中點(diǎn)，
所以H為重心，，
又O為AC中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，
所以，
在三角形AFG中，，
所以HO∥FG，
又FG∉平面BOE，HO?平面BOE，
所以FG∥平面BOE．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定．應(yīng)熟練記憶直線與平面平行的判定定理．