Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量

m

=（-cosBcosC，1），

n

=（1，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

．
（1）求cosB+sinC的取值范圍；
（2）先給出下列三個(gè)條件：①a=1，②2c-（

3

+1）b=0，③B=

π

4

，試從中選擇兩個(gè)條件確定△ABC，并求出所確定的△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用

m

•

n

=0，推出cos（B+C）=-

3

2

，然后求出A=30°；
（2）方案一：選擇①②，可以確定△ABC，通過余弦定理，得c=

6 + 2

2

，求出S_△ABC；
方案二：選擇①③，可以確定△ABC，由正弦定理的c，然后求出S_△ABC．

解答： 解：（1）因?yàn)橄蛄?span id="tntb7lz" class="MathJye">

m

=（-cosBcosC，1），

n

=（1，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

，
所以-cosBcosC+sinBsinC-

3

2

=0，
所以cos（B+C）=-

3

2

，
因?yàn)锳+B+C=π，所以cos（B+C）=-cosA，
所以cosA=

3

2

，A=30°．
（2）方案一：選擇①②，可以確定△ABC，
因?yàn)锳=30°，a=1，2c-（

3

+1）b=0，
由余弦定理，得：1²=b²+（

3 +1

2

b）²-2b•

3 +1

2

b•

3

2

，
整理得：b²=2，b=

2

，c=

6 + 2

2

，
所以S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×

6 + 2

2

×

1

2

=

3 +1

4

．
方案二：選擇①③，可以確定△ABC，
因?yàn)锳=30°，a=1，B=45°，C=105°，
又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+sin60°cos45°=

6 + 2

4

．
由正弦定理的c=

asinC

sinA

=

1×sin105°

sin30°

=

6 + 2

2

，
所以S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

6 + 2

2

×

2

2

=

3 +1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的垂直，正弦定理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．