Question

設是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”.

(Ⅰ) 數(shù)表如表1所示，若經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負實數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）；

表1

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 數(shù)表如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，求整數(shù)的所有可能值；

表2

(Ⅲ)對由個實數(shù)組成的行列的任意一個數(shù)表，能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)？請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(I) 詳見解析； (II) 或 ；(Ⅲ) 能，理由詳見解析．

【解析】

試題分析：：（I）根據(jù)題中一次“操作”的含義，將原數(shù)表改變第4列，再改變第2行即可；或者改變第2行，改變第4列也可得（寫出一種即可）；（II）  每一列所有數(shù)之和分別為2，0，-2，0，每一行所有數(shù)之和分別為-1，1；①如果操作第三列，第一行之和為2a-1，第二行之和為5-2a，列出不等關系解得a，b范圍進而分情況進行第二次操作；②如果操作第一行，易由條件得a的值；（III） 按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和），由負數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數(shù)陣中mn個數(shù)之和增加.

解：法1：

法2：

法3：

                                                                                                       3分

 (II) 每一列所有數(shù)之和分別為2，0，，0，每一行所有數(shù)之和分別為，1;

①如果首先操作第三列，則

則第一行之和為，第二行之和為，

這兩個數(shù)中，必須有一個為負數(shù)，另外一個為非負數(shù)，

所以 或

當時，則接下來只能操作第一行，

此時每列之和分別為

必有，解得

當時，則接下來操作第二行

 

此時第4列和為負，不符合題意.                                              6分    

② 如果首先操作第一行

則每一列之和分別為，，，

當時，每列各數(shù)之和已經(jīng)非負，不需要進行第二次操作，舍掉

當時，，至少有一個為負數(shù)，

所以此時必須有，即，所以或

經(jīng)檢驗，或符合要求

綜上：                                                      9分

 （III）能經(jīng)過有限次操作以后，使得得到的數(shù)表所有的行和與所有的列和均為非負實數(shù)。證明如下：

記數(shù)表中第行第列的實數(shù)為（），各行的數(shù)字之和分別為，各列的數(shù)字之和分別為，，，數(shù)表中個實數(shù)之和為，則。記

．

按要求操作一次時，使該行的行和（或該列的列和）由負變正，都會引起（和）增大，從而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數(shù)表中某行（或某列）各數(shù)的符號，而不改變其絕對值，顯然，必然小于等于最初的數(shù)表中個實數(shù)的絕對值之和，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止。終止之時，必是所有的行和與所有的列和均為非負實數(shù)，否則，只要再改變該行或該列的符號，就又會繼續(xù)上升，導致矛盾，故結論成立。                                 13分

考點：推理與證明．