Question

（本小題滿分16分）
已知直線：與直線：．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線通過直線的定點(diǎn)，求點(diǎn)所在曲線的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)(兩點(diǎn)都在軸上方)，且，求此直線的方程．

Answer 1

（1）定點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）．（3）的方程為．

本試題主要考查了直線的位置關(guān)系的運(yùn)用，以及求解軌跡方程和直線方程的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)橹本�：與直線：．
，那么當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，直線表示為過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程可知其過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)橹本�通過直線的定點(diǎn)，則可知點(diǎn)所在曲線的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)(兩點(diǎn)都在軸上方)，且，運(yùn)用向量的共線的知識(shí)得到結(jié)論。
（1）的方程化為，…………………………2分
由題意，解得所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………4分
（2）由過定點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)所在曲線的方程為．……………………………………8分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823223136126655.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，且，
所以，所以，所以，所以．…………10分
設(shè)，則，
由，得，又由
由①②③④解之得所以，……………………………………………14分
所以的方程為．……………………………………………………16分