Question

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數根；
（Ⅲ）設x₁是方程f（x）-x=0的實數根，求證：對于f（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析：（1）判定函數f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否滿足：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（2）證明只有一個的問題，可利用反正法進行證明，假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根α，β（α≠β），然后尋找矛盾，從而肯定結論．
（3）構造f（x）-x，研究函數f（x）-x的單調性，從而得到|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，再利用絕對值不等式即可證得．

解答：解：（I）因為f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，所以f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]滿足條件0＜f′(x)＜1，
又因為當x=0時，f（0）=0，
所以方程f（x）-x=0有實數根0．
所以函數f(x)=

x

2

+

sinx

4

是的集合M中的元素．（3分）
（II）假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根α，β（α≠β），
則f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨設α＜β，根據題意存在數c⊆（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立．
因為f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，
與已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）-x=0只有一個實數根；（8分）
（III）不妨設x₂＜x₃，因為f'（x）＞0，
所以f（x）為增函數，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因為f'（x）-1＜0，
所以函數f（x）-x為減函數，
所以f（x₂）-x₂＞f（x₃）-x₃，
所以0＜f（x₃）-f（x₂）＜x₃-x₂，
即|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，
所以|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-（x₂-x₁）|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2（13分）

點評：本題考查了導數的運算，反證法，以及不等式的證明，是一道函數綜合問題，有一定難度，可作為考試的壓軸題．