(本小題滿分14分)

如圖1,在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起,使,得一簡(jiǎn)單組合體如圖2示,已知分別為的中點(diǎn).

圖1                                圖2

(1)求證:平面;

(2)求證:;

(3)當(dāng)多長(zhǎng)時(shí),平面與平面所成的銳二面角為?

 

【答案】

(1)先由中位線定理證,再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可;

(2)先證,再證,進(jìn)而證明平面,從而結(jié)論可證;

(3)時(shí),平面與平面所成的銳二面角為

【解析】

試題分析:(1)證明:連,∵四邊形是矩形,中點(diǎn),

中點(diǎn),                                                      ……1分

中,中點(diǎn),故                                ……3分

平面,平面,平面;              ……4分

(其它證法,請(qǐng)參照給分)

(2)依題意知 且

平面

平面,∴,                                    ……5分

中點(diǎn),∴ 

結(jié)合,知四邊形是平行四邊形

,                                              ……7分

,∴ ∴,即  ……8分

,∴平面,

平面,∴.                                       ……9分

(3)解法一:如圖,分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè),則

易知平面的一個(gè)法向量為,                           ……10分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則

,即

,則,故                                ……11分

依題意,,                                    ……13分

時(shí),平面與平面所成的銳二面角為.           ……14分

【解法二:過(guò)點(diǎn)A作交DE于M點(diǎn),連結(jié)PM,則

為二面角A-DE-F的平面角,                                   ……11分

=600,AP=BF=2得AM,                      ……12分

,解得,

時(shí),平面與平面所成的銳二面角為.         ……14分】

考點(diǎn):本小題主要考查線面平行、線面垂直的證明和二面角的求解.

點(diǎn)評(píng):立體幾何問(wèn)題,主要是考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,解決此類問(wèn)題時(shí),要緊扣相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理,要將定理中要求的條件一一列舉出來(lái),缺一不可,用空間向量解決立體幾何問(wèn)題時(shí),要仔細(xì)運(yùn)算,適當(dāng)轉(zhuǎn)化.

 

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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時(shí),求函數(shù)f(x)
的值域.

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(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P。(1)試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)AB是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn),當(dāng)a變化時(shí),求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個(gè)。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。

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(本小題滿分14分)
已知=2,點(diǎn)()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,并證明.

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 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過(guò)去20天的銷售價(jià)格及銷售量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價(jià)格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤(rùn);

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).

 

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⑴ 求,滿足的關(guān)系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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