Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是AC、A₁D的公垂線，則EF和BD₁的關(guān)系是（　　）

• A、異面
• B、平行
• C、垂直
• D、相交

Answer 1

分析：建立以D₁為原點的空間直角坐標系D₁-xyz，設(shè)正方形的邊長為1，利用向量法，我們易求出BD₁與A₁D和AC都垂直，根據(jù)共垂線的性質(zhì)，可以得到答案．

解答：解：建立以D₁為原點的空間直角坐標系D₁-xyz，且設(shè)正方形的邊長為1
所以就有D₁（0，0，0），B（1，1，1），A₁（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）
所以

A1D

=（-1，0，1），

AC

=（-1，1，0），

BD1

=（-1，-1，-1）
所以

A1D

•

BD1

=-1+1=0 所以A₁D⊥BD₁，

AC

•

BD1

=1-1=0 所以AC⊥BD₁，
所以BD₁與A₁D和AC都垂直
又∵EF是AC、A₁D的公垂線，
∴BD₁∥EF
故選B

點評：本題考查的知識點是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中建立空間坐標系，借助向量分析直線與直線之間的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．