Question

已知兩個(gè)正數(shù)x，y滿足x+y=4，則使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立的實(shí)數(shù)m的范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意將x+y=4代入

1

x

+

4

y

進(jìn)行恒等變形和拆項(xiàng)后，再利用基本不等式求出它的最小值，根據(jù)不等式恒成立求出m的范圍．

解答：解：由題意知兩個(gè)正數(shù)x，y滿足x+y=4，
則

1

x

+

4

y

=

x+y

4x

+

x+y

y

=

5

4

+

y

4x

+

x

y

≥

5

4

+1=

9

4

，當(dāng)

y

4x

=

x

y

時(shí)取等號(hào)；
∴

1

x

+

4

y

的最小值是

9

4

，
∵不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，∴m≤

9

4

．
故答案為：m≤

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用基本不等式求最值和恒成立問題，利用條件進(jìn)行整體代換和合理拆項(xiàng)再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的驗(yàn)證．