Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₂=3，a₅=6，數列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n+

1

2

b_n=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式與前n項的和M_n；
（2）求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d，進而根據等差數列通項公式表示出a₂和a₅，求得a₁和d，則數列的通項公式和求和公式可得．
（2）根據T_n-T_n-1=b_n，整理得b_n=

1

3

b_n-1．判斷出{b_n}是等比數列．進而求得b₁，利用等比數列的通項公式求得答案．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，則：a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d．∴a2=3，a5=6，所以

a1+d=3 a1+4d=6

，
∴a₁=2，d=1
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
M_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

n2+3n

2

．
（2）當n=1時，b₁=T₁，
由T₁+

1

2

b₁=1，得b₁=

2

3

．
當n≥2時，∵T_n=1-

1

2

b_n，T_n-1=1-

1

2

b_n-1，
∴T_n-T_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），
即b_n=

1

2

（b_n-1-b_n）．
∴b_n=

1

3

b_n-1．
∴{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列．
∴b_n=

2

3

•（

1

3

）^n-1=

2

3n

．

點評：本題主要考查了等差數列的性質和等比數列的判定．考查了學生對數列基本知識點的掌握．