已知函數(shù)f(x)=a-
1|x|

（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）＜0.25x在（1，+∞）上恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可
（2）f（x）＜0.25x在（1，+∞）上恒成立，即為即a-
1
x
＜
x
4
，移向得出a＜
1
x
+
x
4
令g（x）=
1
x
+
x
4
，x∈（1，+∞）．只需a＜g（x）min即可．
解答：解：（1）設(shè)0＜x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=（a-
1
x1
）-（a-
1
x2
）=
1
x2
-
1
x1
=
x1-x2
x1x2
，
∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，0＜x1x2，
∴f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）
函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）f（x）＜0.25x在（1，+∞）上恒成立，即a-
1
x
＜
x
4
，移項(xiàng)得出a＜
1
x
+
x
4
，
令g（x）=
1
x
+
x
4
，x∈（1，+∞）．只需a＜g（x）min即可．
由于g（x）=
1
x
+
x
4
≥2
1
x
×
x
4
=1，當(dāng)且僅當(dāng)
1
x
=
x
4
，x=2時(shí)取等號．
所以正數(shù)a的取值范圍是a＜1
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，基本不等式求最值的基礎(chǔ)知識，考查劃歸與轉(zhuǎn)化，以及抽象概括、推理論證和運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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