Question

如圖（圖1）等腰梯形PBCD，A為PD上一點，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿著AB折疊使得二面角P-AB-D為60°的二面角，連接PC、PD，在AD上取一點E使得3AE=ED，連接PE得到如圖（圖2）的一個幾何體．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）設(shè)PA=2，求點E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB⊥PA，AB⊥AD，二面角P-AB-D為60°，得AP⊥PD．由此能夠證明平面PAB⊥平面PCD．
（Ⅱ）設(shè)E到平面PBC的距離為h，由AE∥平面PBC，知A到平面PBC的距離亦為h，再由等積法能夠求出點E到平面PBC的距離h．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AB⊥PA，AB⊥AD，又二面角P-AB-D為60°，
∴∠PAD=60°，又AD=2PA，∴AP⊥PD．
∵AB⊥平面APD，又PD?平面APD，∴AB⊥PD，
∵AP，AB?平面ABP，且AP∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，又PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)E到平面PBC的距離為h，
∵AE∥平面PBC，
∴A 到平面PBC的距離亦為h，
連接AC，則V_P-ABC=V_A-PBC，
∴

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

1

3

×

1

2

×2×

7

×h，
解得h=

2 21

7

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法．解題時要認真審題，注意等積法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．