Question

（（本小題滿(mǎn)分14分）

給定橢圓：  ，稱(chēng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程

（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點(diǎn)(0, )，使得過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為．若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意得：得，半焦距           …… 2分

則橢圓的方程為                        ．．．．3分

“伴隨圓”的方程為                            ．．．．5分

（2）假設(shè)y軸上存在點(diǎn)(0, )，

則設(shè)過(guò)點(diǎn)且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)為：，          …… 1分

則　　整理得   ．．．．．．．3分

所以，解 ①   ．．．．5分

又因?yàn)橹本�(xiàn)截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為，

則有   化簡(jiǎn)得   ② ．．．．7分

聯(lián)立①②解得，，所以

所以y軸上存在點(diǎn)(0, )                                       ．．．．9分

 

【解析】略