探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(-∞,0)
的最大值,并確定取得最大值時x的值.列表如下:
x -0.5 -1 -1.5 -1.7 -1.9 -2 -2.1 -2.2 -2.3 -3
y -8.5 -5 -4.17 -4.05 -4.005 -4 -4.005 -4.02 -4.04 -4.3
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(-∞,0)
在區(qū)間
 
上為單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)x=
 
時,f(x)最大=
 

(2)證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
在區(qū)間(-2,0)為單調(diào)遞減函數(shù).
(3)思考:函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
有最大值或最小值嗎?如有,是多少?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明).
分析:(1)由于函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(-∞,0)
為對勾函數(shù)的左支,根據(jù)已知中的表格中的數(shù)據(jù),我們易判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值;
(2)取區(qū)間(-2,0)上的任意兩個數(shù)x1,x2,且x1<x2.根據(jù)函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(-∞,0)
,我們判斷出f(x1)-f(x2)的符號,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,即可得到結(jié)論.
(3)由函數(shù)的解析式可得,函數(shù)f(x)=x+
4
x
為奇函數(shù),由(1),(2)的結(jié)論,我們易得函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
有最小值,也易得到x為何值時函數(shù)取最值.
解答:解:(1)(-∞,-2);(2分)
當(dāng)x=-2時f(x)最大=-4.(4分)
(2)證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間,(-2,0)上的任意兩個數(shù),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)=x1-x2+
4
x1
-
4
x2
=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)

=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
(8分)
∵x1<x2,
∴x1-x2<0
又∵x1,x2∈(-2,0)
∴0<x1x2<4
∴x1x2-4<0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴函數(shù)在(-2,0)上為減函數(shù).(12分)
(3)思考:f(x)=x+
4
x
(x>0)
,當(dāng)x=2時,f(x)最小=4(16分)
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,其中熟練掌握對勾函數(shù)f(x)=x+
t
x
,(t>0)
的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減,函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間
 
上遞增;
(2)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
,當(dāng)x=
 
時,y最小=
 
;
(3)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=2x+
8
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 16 10 8.34 8.1 8.01 8 8.01 8.04 8.08 8.6 10 11.6 15.14
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數(shù)f(x)=2x+
8
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減;函數(shù)f(x)=2x+
8
x
(x>0)
在區(qū)間
(2,+∞)
(2,+∞)
上遞增.當(dāng)x=
2
2
時,y最小=
4
4

(2)證明:函數(shù)f(x)=2x+
8
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)遞減.
(3)思考:函數(shù)f(x)=2x+
8
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

觀察下列表格,探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的性質(zhì),
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57
(1)請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減;
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間
(2,+∞)
(2,+∞)
上遞增.
當(dāng)x=
2
2
時,y最小=
4
4

(2)證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
在區(qū)間(0,2)遞減.
(3)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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