Question

（2013•濟(jì)南一模）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC與BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2

2

，E、F分別是AB、AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥EF；
（2）求二面角F-OE-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用EF與AO的方向向量的數(shù)量積等于0，即可證明垂直；
（2）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角的余弦值．

解答：（1）證明：由ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC與BD交于O，可知：△OAB是等腰直角三角形，
∵AB=2CD=2

2

，E是AB的中點(diǎn)，∴OE=EA=EB=

2

，可得OA=OB=2．
∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB．又OA⊥OB．
∴可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，0），F(xiàn)（1，0，1）．
∴

EF

=(0，-1，1)，

AO

=(-2，0，0)．
∴

EF

•

AO

=0，∴EF⊥AO，即EF⊥AC．
（2）解：由（1）可知：

OE

=(1，1，0)，

OF

=(1，0，1)．
設(shè)平面OEF的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • OE =0 n • OF =0

，得

x+y=0 x+z=0

，令x=1，則y=z=-1．
∴

n

=(1，-1，-1)．
∵PO⊥平面OAE，∴可取

OP

=(0，0，2)作為平面OAE的法向量．
∴cos＜

n

，

OP

＞=

n • OP

| n | | OP |

=

-2

3 ×2

=-

3

3

．
由圖可知：二面角F-OE-A的平面角是銳角θ．
因此，cosθ=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用EF與AO的方向向量的數(shù)量積等于0證明垂直；利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的方法必須熟練掌握．