Question

15．若$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\frac{π}{2}}\\{sinx≤y≤cosx}\end{array}\right.$，則z=x+2y的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． [0，$\sqrt{3}$]
• C． [0，$\sqrt{3}$-$\frac{π}{6}$]
• D． [0，$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，
由z=x+2y，得y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，平移直線y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)O時，
直線y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最小，此時z最小，z=0，
當(dāng)直線y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$與y=cosx相切時，直線的截距最大，此時z最大，
函數(shù)y=cosx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-sinx，
目標(biāo)函數(shù)的斜率k=$-\frac{1}{2}$，
由-sinx=$-\frac{1}{2}$得sinx=$\frac{1}{2}$，
解得x=$\frac{π}{6}$，此時y=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
此時z=$\frac{π}{6}$+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$，
故z的取值范圍是[0，$\sqrt{3}$+$\frac{π}{6}$]，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．