Question

設a，b，c均為正實數(shù)
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值．
（2）求證：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

．

Answer 1

考點：平均值不等式在函數(shù)極值中的應用

專題：計算題,證明題,不等式

分析：（1）（法一）a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=1，結(jié)合

a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc a2+c2≥2ac

，可求出a²+b²+c²≥

1

3

，（當且僅當a=b=c=

1

3

時，等號成立）；
（法二）由柯西不等式可得，（1+1+1）（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1；
（2）化

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

[（

1

a

+

1

b

）+（

1

b

+

1

c

）+（

1

a

+

1

c

）]=

1

2

（

a+b

ab

+

b+c

bc

+

a+c

ac

），由ab≤(

a+b

2

)2，bc≤(

b+c

2

)2，ac≤(

c+a

2

)2推導證明．

解答： 證明：（1）（法一）∵a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=1，
即a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=1，
又∵

a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc a2+c2≥2ac

，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
∴3（a²+b²+c²）≥1，
∴a²+b²+c²≥

1

3

，
（當且僅當a=b=c=

1

3

時，等號成立），
故a²+b²+c²的最小值為

1

3

．
（法二）由柯西不等式可得，
（1+1+1）（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1，
即a²+b²+c²≥

1

3

，
故a²+b²+c²的最小值為

1

3

．
（2）證明：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

[（

1

a

+

1

b

）+（

1

b

+

1

c

）+（

1

a

+

1

c

）]
=

1

2

（

a+b

ab

+

b+c

bc

+

a+c

ac

）
∵ab≤(

a+b

2

)2，bc≤(

b+c

2

)2，ac≤(

c+a

2

)2，
∴

1

2

（

a+b

ab

+

b+c

bc

+

a+c

ac

）
≥

1

2

（

4

a+b

+

4

b+c

+

4

a+c

）
=

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

．
故

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

．

點評：本題考查了不等式的應用，應用了基本不等式與柯西不等式，屬于中檔題．