Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（2）的最小值為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2），求導(dǎo)得，可以判斷存在零點(diǎn)，可以求出函數(shù)的最小值為，可以證明出：

，，可證明在上有零點(diǎn)，

的最小值為，結(jié)合，可求的最小值為.

（1）的定義域?yàn)?/span>，.

①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，

所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)無零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，令，得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以.

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)函數(shù)無零點(diǎn).當(dāng)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

（2）由題意得，，則，令，則，

所以在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù).

又，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，

且，，即.

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

在上為增函數(shù)，的最小值.

因?yàn)?/span>，所以，所以.

由得，易知在上為增函數(shù).

因?yàn)?/span>，所以，，所以在

上存在唯一零點(diǎn)，且，，當(dāng)時(shí)，

，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在

上為增函數(shù)，所以的最小值為，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

又，所以，

又函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，

因?yàn)?/span>，所以，即在上的最小值為0.