Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為正三角形，且側(cè)面AA₁C₁C是邊長為2的正方形，E是A，B的中點，F(xiàn)在棱CC₁上．
（1）當(dāng)C₁F=

1

2

CF時，求多面體ABCFA₁的體積；
（2）當(dāng)點F使得A₁F+BF最小時，判斷直線AE與A₁F是否垂直，并證明的結(jié)論．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得△ABC的高為

3

且等于四棱錐B-A₁ACF的高．由此能求出多面體ABCFA₁的體積．
（Ⅱ）將側(cè)面BCC₁B₁展開到側(cè)面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，連結(jié)A₁B，交C₁C于點F，此時點F使得A₁F+BF最�。�由此能證明線AE與A₁F垂直．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵C1F=

1

2

CF，AC=CC1=2，
∴CF=

4

3

，S直角梯形AA1FC=

10

3

．
由已知得△ABC的高為

3

且等于四棱錐B-A₁ACF的高．
∴VB-A1ACF=

1

3

×

10

3

×

3

=

10

9

3

，
即多面體ABCFA₁的體積為

10 3

9

．…（5分）
（Ⅱ）將側(cè)面BCC₁B₁展開到側(cè)面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，
連結(jié)A₁B，交C₁C于點F，此時點F使得A₁F+BF最�。�
此時FC平行且等于A₁A的一半，∴F為C₁C的中點．…（7分）
過點E作EG∥A₁F交BF于G，則G是BF的中點，EG=

1

2

A1F=

5

2

．．
過點G作GH⊥BC，交BC于H，則GH=

1

2

FC=

1

2

．
又AH=

3

，于是在 Rt△AGH中，AG=

AH2+GH2

=

13

2

；
在Rt△ABA₁中，AE=

2

．
在△AEG中，AE²+GE²=AG²，
∴AE⊥EG，∴AE⊥A₁F．…（13分）

點評：本題考查多面體體積的求法，考查兩線段和最小時異面直線是否垂直的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．