Question

【題目】設函數(shù)，其中x＞0，k為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）當k≤0時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間(1，3)上存在兩個極值點，求實數(shù)k的取值范圍；

（3）證明：對任意給定的實數(shù)k，存在()，使得在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3），單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析。

【解析】

（1）f′（x）=．分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范圍即可；

（2）函數(shù)f（x）在（1,3）內(nèi)存在兩個極值點，有兩個實數(shù)根．化為，，因此在內(nèi)存在兩個實數(shù)根．利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值即可；

（3）令，得，在上單調(diào)遞增，進而分析可得結(jié)果.

,

（1）當時，對任意的都成立.

所以，當時，；當時，，

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3），單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由函數(shù)在區(qū)間（1,3）上存在兩個極值點，得在區(qū)間（1,3）上至少有兩個解，即在區(qū)間（1,3）至少有兩個解.

令，，則

所以，當時，；當，，所以在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞增.又，，

所以，，且，即.

此時，存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得

且當x∈(1,x1)時，，當x∈(x1,x2)時，，當x∈(x2,，3)，，滿足條件.

所以k的取值范圍為

(3)令，得，當時，，當且僅當時等號成立，

所以，在上單調(diào)遞增，

所以，當時，，及，

當時，.

設為3和中較大的數(shù)，則當時，，

所以對任意給定的實數(shù)，存在，式得在區(qū)間上單調(diào)遞增.