Question

如圖,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn),求證:

(1)DE=DA;

(2)平面BDM⊥平面ECA;

(3)平面DEA⊥平面ECA.

Answer 1

證明:(1)如圖,取EC的中點(diǎn)F,連結(jié)DF.

∵EC⊥BC,易知DF∥BC,

∴DF⊥EC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中.

∵EF=EC=BD,FD=BC=AB,

∴Rt△EFD≌Rt△DBA.

故ED=DA.

(2)如圖,取CA的中點(diǎn)N,連結(jié)MN、BN,則MNEC,

∴MN∥BD,

∴N點(diǎn)在平面BDM內(nèi).

∵EC⊥平面ABC,

∴EC⊥BN.又CA⊥BN,

∴BN⊥平面ECA.

∵BN在平面MNBD內(nèi),

∴平面MNBD⊥平面ECA.

(3)∵BDEC,MNEC,

∴MNBD為平行四邊形.

∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA,

∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA.

∴平面DEA⊥平面ECA.