Question

關(guān)于x的不等式

.

x+a 2 1 x

.

＜0的解集為（-1，b）．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）若z₁=a+bi，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂為純虛數(shù)，求cos(2α-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）將原不等式轉(zhuǎn)化為（x+a）x-2＜0，即x²+ax-2＜0，根據(jù)解集為（-1，b）得到-1，b是方程x²+ax-2=0的兩個(gè)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可列出關(guān)于a，b的方程組，并利用解二元一次方程組的方法即可求解
（2）根據(jù)z₁z₂為純虛數(shù)，得知實(shí)部為0，虛部不為0，即可得到關(guān)于α的條件式

cosα+2sinα=0 2cosα-sinα≠0

并解得：tanα=-

1

2

，再利用兩角差的余弦，倍角公式和同角的三角關(guān)系將cos(2α-

π

3

)化為關(guān)于tanα的代數(shù)式

1

2

×

1-tan2α

1+tan2α

+

3

2

×

2tanα

1+tan2α

即可求解

解答：解：（1）原不等式等價(jià)于（x+a）x-2＜0，
  即x²+ax-2＜0
由題意得，

-1+b=-a -1×b=-2

解得a=-1，b=2．
（2）z₁=-1+2i，z₁z₂=（-cosα-2sinα）+i（2cosα-sinα）
若z₁z₂為純虛數(shù)，則

cosα+2sinα=0 2cosα-sinα≠0

，
解得tanα=-

1

2

cos(2α-

π

3

)=

1

2

cos2α+

3

2

sin2α=

1

2

×

1-tan2α

1+tan2α

+

3

2

×

2tanα

1+tan2α

=

3-4 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二階矩陣，兩角和與差的余弦函數(shù)及解三角方程的能力，屬于基礎(chǔ)題．