Question

7．命題p：集合M={x|x＜-2或x＞3}，命題q：集合N={x|$\left\{\begin{array}{l}{x-6≤0}\\{x+a＞0}\end{array}\right.$（a≤6）}．
（1）若a=-2時，求集合N，集合∁_RM及N∩∁_RM；
（2）a＞0且M∩N={x|3＜x≤6}，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若$\overline{p}$是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=-2時，N=（2，6]．再利用補集的定義及其交集的運算性質(zhì)即可得出集合∁_RM，N∩∁_RM．
（2）由a＞0，且M∩N={x|3＜x≤6}，可得N=（-a，6]．因此-2≤-a≤3，即可得出．
（3）命題$\overline{p}$：集合$\overline{M}$=[-2，3]．命題q：集合N={x|$\left\{\begin{array}{l}{x-6≤0}\\{x+a＞0}\end{array}\right.$（a≤6）}=（-a，6]．根據(jù)$\overline{p}$是q的充分不必要條件，可得-a＜-2，且a≤6，解出即可．

解答 解：（1）a=-2時，N=（2，6]．
集合∁_RM=[-2，3]．
N∩∁_RM=（2，6]∩[-2，3]=（2，3]．
（2）∵a＞0，且M∩N={x|3＜x≤6}，
∴N=（-a，6]．
∴-2≤-a≤3，
解得-3≤a≤2．
（3）∵命題p：集合M={x|x＜-2或x＞3}，
∴命題$\overline{p}$：集合$\overline{M}$=[-2，3]．
命題q：集合N={x|$\left\{\begin{array}{l}{x-6≤0}\\{x+a＞0}\end{array}\right.$（a≤6）}=（-a，6]．
∵$\overline{p}$是q的充分不必要條件，
∴-a＜-2，a≤6，
解，6≥a＞2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（2，6]．

點評 本題考查了集合的運算性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．