Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線右支上的一點，圓M與△PF₁F₂三邊所在的直線都相切，切點為A，B，C，若|PB|=a，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  3

• D、3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：連接AC，AD，AF₁，由直線和圓相切的性質(zhì)，可得PC=PB=a，設(shè)BF₂=DF₂=x，運(yùn)用雙曲線的定義，求得PF₁，再由
圓外一點作圓的切線，則切線長相等，結(jié)合離心率公式即可得到所求值．

解答： 解：連接AC，AD，AF₁，
由直線和圓相切的性質(zhì)，可得PC=PB=a，設(shè)BF₂=DF₂=x，
由雙曲線的定義可得，PF₁-PF₂=2a，
則PF₁=3a+x，F(xiàn)₁C=4a+x，F(xiàn)₁D=F₁F₂+F₂D=2c+x，
由圓外一點作圓的切線，則切線長相等，
即有4a+x=2c+x，即c=2a，
e=

c

a

=2．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查直線和圓相切的性質(zhì)，考查離心率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．