Question

18、平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓都沒有共同的交點(diǎn)，試證明這n個(gè)圓把平面分成了n2-n+2個(gè)區(qū)域．

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立，然后假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立即可．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域，而12-1+2=2，命題成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成k2-k+2個(gè)區(qū)域．
當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個(gè)區(qū)域，
共有k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2個(gè)區(qū)域．
∴n=k+1時(shí)，命題也成立．
由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，注意n=k+1的證明過程，增加了2k個(gè)區(qū)域，這是證明的關(guān)鍵所在，兩個(gè)步驟缺一不可．