Question

下列命題中
①對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)x，f（x）是y=2-x²和y=x這兩個(gè)函數(shù)中的較小者，則f（x）的最大值是1．
②已知x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，則x₁+x₂=3．
③函數(shù)f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-1，2a]，則f（x）的圖象是以（0，1）為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線．
④若集合P={x|x=3m+1，m∈N⁺}，Q={x|x=5n+2，n∈N⁺}，則P∩Q={x|x=15m-8，m∈N⁺}
⑤若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上遞增，且a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
其中正確的命題的序號(hào)是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：①確定出x為何值時(shí)取最大值，求出最大值．②得出第一個(gè)方程：lgx=3-x． 第二個(gè)方程，lg（3-x）=x．y=3-x，得出為同一方程，推出x₁+x₂=3．
③通過(guò)函數(shù)為偶函數(shù)求出a，b的值，確定出解析式和開(kāi)口方向．④要滿足3m+1=5n+2，m=

5n+1

3

，要使m，n都為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)n=3k-2∈N時(shí)，才滿足m=5k-3∈N，代入求出x的值．⑤若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上遞增，且a+b≥0，則f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），得出結(jié)論成立．

解答：解：①當(dāng)y=2-x²和y=x相交時(shí)，直線取最大值，此時(shí)x=1，最大值為1，正確；
②第一個(gè)方程：lgx=3-x． 第二個(gè)方程，lg（3-x）=x．
注意第二個(gè)方程
如果做變量代換y=3-x，則lgy=3-x，
其實(shí)是與第一個(gè)方程一樣的．  那么，如果x₁，x₂是兩個(gè)方程的解，則必有x₁=3-x₂，即x₁+x₂=3，正確．
③若函數(shù)為偶函數(shù)，則應(yīng)滿足

b=0 a-1+2a=0

，解得 a=

1

3

，b=0，f（x）=x²+1，開(kāi)口向下，③錯(cuò)誤．
④若x屬于P∩Q，則必有x=3m+1，m∈N，x=5n+2，n∈N
即 要滿足3m+1=5n+2  且m，n∈N
m=

5n+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)n=3k-2∈N時(shí)，才滿足m=5k-3∈N   （k∈N*）
此時(shí)將m=5k-3代入x=3m+1，得x=15k-8
即可知3m+1=5n+2=15k-8=x
x為P∩Q元素，正確．
⑤若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上遞增，且a+b≥0，則f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），故f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．正確．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值及幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，偶函數(shù)的性質(zhì)，交集，判斷命題真假等知識(shí)點(diǎn)，屬于綜合性德題目，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高．