Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，n∈N^*，則數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}前n項(xiàng)和T_n=$\sqrt{n+1}$-1．

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，n∈N^*，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出a_n=n，再由$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，n∈N^*，
∴${a}_{1}={S}_{n}=\frac{{1}^{2}+1}{2}$=1，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}-\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，
n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=n．
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴T_n=$\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+…+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$=$\sqrt{n+1}-1$．
故答案為：$\sqrt{n+1}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．