Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入求出其導函數(shù)，進而求出f'（2）以及f（2）即可求出方程；
（II）先求出其導函數(shù)以及導數(shù)為0的根，比較根與區(qū)間兩端點的大小關(guān)系，求出其在x∈（0，e]上的單調(diào)性以及在x∈（0，e]上的最小值；即可判斷出是否存在a．．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x-lx，f'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

（1分）
∴切線斜率為f'（2）=

1

2

，切點（2，2-ln2），
∴切線的方程為x-2y+2-2ln2=0
（Ⅱ）假設存在實數(shù)a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

①當a≤0時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3⇒a=

4

e

（舍去），所以，此時f（x）無最小值．（11分）
②當0＜

1

a

＜e時，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，e]上單調(diào)遞增
f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．（12分）
③當

1

a

≥e時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3⇒a=

4

e

（舍去），所以，此時f（x）無最小值．
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當x∈（0，e]時f（x）有最小值3．（14分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)求切線方程以及在閉區(qū)間上的最值問題．是對導數(shù)應用的綜合考查，也是高考�？伎键c．．