Question

（2013•保定一模）設(shè)函數(shù)f（x）在R上是可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足f （x-1）=-f （x+1），則曲線y=f （x）在點(diǎn)x=10處的切線的斜率為（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：由已知f （x-1）=-f （x+1），變形后得到函數(shù)的周期，然后由可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，且周期不變求解f^′（10）．

解答：解：由f （x-1）=-f （x+1），
得f（x）=-f（x+2），
所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
所以函數(shù)y=f（x）的周期為4．
因?yàn)橹芷跒?的可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，
所以曲線y=f （x）在點(diǎn)x=10處的切線的斜率為
f^′（10）=f^′（2）．
因?yàn)閒（x）=-f（x+2），
所以f^′（x）=-2f^′（x+2），
所以f′(2)=-

1

2

f′(0)=0．
故f^′（10）=0．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了函數(shù)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確可導(dǎo)函數(shù)在求導(dǎo)后奇偶性的變化，屬中檔題．