Question

已知函數f（x）=ax³-（a-2）x+4，當x=1時函數取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的概念及應用

分析：（1）由f′（x）=3ax²-a+2，利用導數的性質能求出a=-1．
（2）由（1）得f′（x）=-3x²+3，由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，1），單調遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-（a-2）x+4，
∴f′（x）=3ax²-a+2，
∵當x=1時函數取得極值，
∴f′（1）=3a-a+2=0，
解得a=-1．
（2）由（1）得f′（x）=-3x²+3，
由f′（x）＞0，得-1＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＜-1或x＞1．
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，1），單調遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．