Question

已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：DF⊥平面PAF；
（Ⅱ）在棱PA上找一點(diǎn)G，使EG∥平面PED，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，
因?yàn)锳D=2AB，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，所以∠AFB=∠DFC=45°．
所以∠AFD=90°，即AF⊥FD． …（4分）
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥FD．
因?yàn)锳F∩PA=A，所以FD⊥平面PAF． …（7分）
（Ⅱ）解：過E作EH∥FD交AD于H，則EH∥平面PFD，且AH=AD．
再過H作HG∥PD交PA于G，所以GH∥平面PFD，且AG=PA．
因?yàn)镋H∩GH=H，所以平面EHG∥平面PFD． …（12分）
因?yàn)镋G?平面EHG，所以EG∥平面PFD．
從而點(diǎn)G滿足AG=PA． …（14分）
分析：（Ⅰ）證明AF⊥FD，PA⊥FD，利用線面垂直的判定可得結(jié)論；
（Ⅱ）點(diǎn)G滿足AG=PA，利用線線平行可得線面平行，從而可得面面平行，進(jìn)而可得線面平行．
點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．