Question

已知函數(shù)f(x)=x(x-a)(x-b)，點(diǎn)A(m,f(m))，B(n,f(n)).

(1)設(shè)b=a，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足：當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f′(x)|≤恒成立，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(3)若0＜a＜b，函數(shù)f(x)在x=m和x=n處取得極值，且a+b≤2.問：是否存在常數(shù)a,b，使得·=0?若存在，求出a,b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解:(1)f(x)=x³-2ax²+a²x.令f′(x)=3x²-4ax+a²=0，得x₁=，x₂=a.

1°當(dāng)a＞0時(shí)，x₁＜x₂.

∴所求單調(diào)增區(qū)間是(-∞,)，(a,+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(，a);

2°當(dāng)a＜0時(shí)，所求單調(diào)增區(qū)間是(-∞,a)，(,+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(a，);

3°當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=3x²≥0,所求單調(diào)增區(qū)間是(-∞,+∞).

(2)f(x)=x³-(a+b)x²+abx，∴f′(x)=3x²-2(a+b)x+ab.

∵當(dāng)x∈［-1,1］時(shí)，恒有|f′(x)|≤,∴-≤f′(1)≤,-≤f′(-1)≤,-≤f′(0)≤,

即得

此時(shí)，滿足當(dāng)x∈［-1,1］時(shí)|f′(x)|≤恒成立.

∴f(x)=x³-x.

(3)存在a,b使得·=0.

若·=0，即m·n+f(m)·f(n)=0,

∴mn+mn(m-a)(m-b)(n-a)(n-b)=0.

由于0＜a＜b，知mn≠0,∴(m-a)(m-b)(n-a)(n-b)=-1.①

由題設(shè)，m,n是f′(x)=0的兩根,∴m+n=，mn=.②

②代入①得ab(a-b)²=9.

∴(a+b)²=(a-b)²+4ab=+4ab≥2=12，當(dāng)且僅當(dāng)ab=時(shí)取“=”.∴a+b≥2.

∵a+b≤2,∴a+b=2.又∵ab=，0＜a＜b,

∴a=，b=.