Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），a∈R
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時，f（x）≤

inx

x+1

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1-ax

x

，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；若a＞0時，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞增，在（

1

a

，+∞）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）f（x）-

lnx

x+1

=

xlnx-a(x2-1)

x+1

，令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x≥1），g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，F′(x)=

1-2ax

x

，由此進(jìn)行分類討論，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1-ax

x

，
若a≤0，則f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，…（2分）
若a＞0，則由f′（x）=0，得x=

1

a

，
當(dāng)x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞增，在（

1

a

，+∞）單調(diào)遞減．
所以當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞增，在（

1

a

，+∞）單調(diào)遞減．…（4分）
（Ⅱ）f（x）-

lnx

x+1

=

xlnx-a(x2-1)

x+1

，
令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x≥1），
g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，
F′(x)=

1-2ax

x

，…（6分）
①或a≤0，F(xiàn)′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）遞增，
g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0，
從而f（x）-

lnx

x+1

≥0不符合題意．…（8分）
②若0＜a＜

1

2

，當(dāng)x∈（1，

1

2a

），F(xiàn)′（x）＞0，
∴g′（x）在（1，

1

2a

）遞增，
從而g′（x）＞g′（1）=1-2a，
∴g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0，
從而f（x）-

lnx

x+1

≥0不符合題意．…（10分）
③若a≥

1

2

，F(xiàn)′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1，+∞）遞減，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，
從而g9x）在[1，+∞）遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，f（x）-

lnx

x+1

≤0，
綜上所述，a的取值范圍是[

1

2

，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．