設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心,A(-1,0)、B(1,0),GM∥AB.
(1)求點C的軌跡方程;
(2)設(shè)點C的軌跡為曲線E,是否存在直線l,使l過點(0.1)并與曲線E交于P、Q兩點,且滿足數(shù)學(xué)公式?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說明理由.
注:三角形的重心的概念和性質(zhì)如下:設(shè)△ABC的重心,且有數(shù)學(xué)公式

解:可設(shè)C點的坐標(biāo)為(x,y).
由重心坐標(biāo)的公式,可得G(
外心M在AB的垂直平分線上,顯然AB所在直線為y=0,外心就落在y軸上,橫坐標(biāo)為零;
設(shè)外心坐標(biāo)M(0,b),由GM∥AB可知
那么就確定了外心坐標(biāo)M(0,
由外心定義,CM=AM=BM,AM已經(jīng)等于Bm了,只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM,

整理可得點C的軌跡方程為 x2+
(II)假設(shè)存在直線l滿足條件,設(shè)直線l方程為y=kx+1,
消去x,得(3+k2)x2+2kx-2=0
∵直線l與曲線E并于P、Q兩點,∴△=4k2+8(2+k2)>0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則
,
∴x1x2+y1y2=-2,即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=-2.
(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=0,(1+k2
解得k2=7,∴k=±
故存在直線l:y=±+1,使得,
分析:可設(shè)C點的坐標(biāo)為(x,y),由重心坐標(biāo)的公式,可得G(),再由外心M在AB的垂直平分線上,而AB所在直線為y=0,外心就落在y軸上,橫坐標(biāo)為零,則可設(shè)外心坐標(biāo)M(0,b),由GM∥AB可得M(0,),由外心定義,CM=AM=BM,AM已經(jīng)等于Bm了,只需要令CM=AM或者CM=BM即可,代入距離公式可求點C的軌跡方程.
(II)假設(shè)存在直線l滿足條件,設(shè)直線l方程為y=kx+1,,聯(lián)立直線與橢圓的方程,由,根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求K
點評:本題主要考查了三角形的外心與重心性質(zhì)的應(yīng)用,點的軌跡方程的求解,直線與橢圓相交關(guān)系中的方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及一定的推理與運算的能力的考查,具有一定的綜合性.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心,A(-1,0)、B(1,0),GM∥AB.
(1)求點C的軌跡方程;
(2)設(shè)點C的軌跡為曲線E,是否存在直線l,使l過點(0.1)并與曲線E交于P、Q兩點,且滿足
OP
OQ
=-2
?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說明理由.
注:三角形的重心的概念和性質(zhì)如下:設(shè)△ABC的重心,且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心,A(-1,0)、B(1,0),GMAB.
(1)求點C的軌跡方程;
(2)設(shè)點C的軌跡為曲線E,是否存在直線l,使l過點(0.1)并與曲線E交于P、Q兩點,且滿足
OP
OQ
=-2
?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說明理由.
注:三角形的重心的概念和性質(zhì)如下:設(shè)△ABC的重心,且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心,A(-1,0)、B(1,0),且 (λ∈R且λ≠0).

(1)求點C的軌跡E的方程;

(2)是否存在直線l,使l過點(0,1)并與曲線E交于P、Q兩點,且滿足·=-2?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心,A(-1,0)、B(1,0),且

(1)求點C的軌跡E的方程;

(2)是否存在直線z,使Z過點(0,1)并與曲線E交于P、Q兩點,且滿足OP⊥OQ?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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