如圖，橢圓C：數(shù)學(xué)公式過點(diǎn)M（1，數(shù)學(xué)公式），N（數(shù)學(xué)公式），梯形ABCD（AB∥CD∥y軸，且AB＞CD）內(nèi)接于橢圓，E是對角線AC與BD的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB=m，CD=n，OE=d，試求數(shù)學(xué)公式的最大值．

解：（Ⅰ）由題意得，
解得a2=9，b2=4，
所以橢圓C的方程為：．
（Ⅱ）根據(jù)對稱性可知點(diǎn)E在x軸上，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（d，0），
設(shè)BD的方程為x=ky+d（k＞0），由得（9+4k2）y2+8dky+4d2-36=0，
設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），則y1+y2=-，
m-n=-2y1-2y2=，
從而≤==，
等號當(dāng)且僅當(dāng)k=取得．
的最大值為．
分析：（Ⅰ）把M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程解方程組即可；
（Ⅱ）易判斷點(diǎn)E在x軸上，則E（d，0），設(shè)BD的方程為x=ky+d（k＞0），與橢圓方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），由韋達(dá)定理可得y1+y2，進(jìn)而可把m-n、用k表示出來，再利用基本不等式即可求得其最大值．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及橢圓方程的求解，考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力，（Ⅱ）問關(guān)鍵是表示為k的函數(shù)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，直線l的方程x=9，N為l上位于x軸上方的一點(diǎn)．
（1）設(shè)線段AN與橢圓C交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M是線段AN的中點(diǎn)，求證：MA⊥MF；
（2）過三點(diǎn)A，F(xiàn)，N的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過點(diǎn)（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
   （�。┣笞C：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
   （ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•閘北區(qū)二模）如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)|PF1|取得最小值與最大值；
（Ⅱ）若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅲ）若直線l：y=kx+m與（Ⅱ）中所述橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且滿足AA2⊥BA2，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省無錫市江陰市南菁高級中學(xué)高三（下）開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：過點(diǎn)M（1，），N（），梯形ABCD（AB∥CD∥y軸，且AB＞CD）內(nèi)接于橢圓，E是對角線AC與BD的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB=m，CD=n，OE=d，試求的最大值．

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