Question

18．設(shè)a＞0，且a≠1，已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-bx}{x-1}$是奇函數(shù)
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當x∈（1，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域為（1，+∞），求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），進而可得實數(shù)b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）由a-2＞1得a＞3，由（Ⅱ）可得：f（x）在（1，a-2）上單調(diào)遞減，從而f（a-2）=1，解得答案．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）…（1分）
從而f（-x）+f（x）=0，即${log_a}\frac{1+bx}{-x-1}+{log_a}\frac{1-bx}{x-1}=0$，
于是，（b²-1）x²=0，由x的任意性知b²-1=0，
解得b=-1或b=1（舍），
所以b=-1．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）={log_a}\frac{x+1}{x-1}$，（x＜-1或x＞1），
∴${f^/}（x）=\frac{-2}{{（{x^2}-1）lna}}$；…（5分）
當0＜a＜1時，f′（x）＞0，即f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
當a＞1時，f′（x）＜0，即f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；…（9分）
（Ⅲ）由a-2＞1得a＞3，…（11分）
所以f（x）在（1，a-2）上單調(diào)遞減，
從而f（a-2）=1，即${log_a}\frac{a-1}{a-3}=1$，
又a＞3，得$a=2+\sqrt{3}$．…（13分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．