Question

(本小題滿分13分)

已知正項數(shù)列{an}的首項a1＝，函數(shù)f(x)＝，g(x)＝.

(1)若正項數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)(n∈N*)，證明：{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若正項數(shù)列{an}滿足an＋1≤f(an)(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝，證明：b1＋b2＋…＋bn<1；

(3)若正項數(shù)列{an}滿足an＋1＝g(an)，求證：|an＋1－an|≤·()n－1

 

Answer 1

【答案】

 

（1）證明略

（2）證明略

（3）證明略

【解析】

證明：(1)∵an＋1＝f(an)＝，∴＝＝＋1，即－＝1，

∴{}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列.

∴＝2＋(n－1)，即an＝.(3分)

(2)證明：∵an＋1≤，an>0，∴≥，即－≥1.

當(dāng)n≥2時，－＝(－)＋(－)＋…＋(－)≥n－1，

∴≥n＋1，∴an≤.

當(dāng)n＝1時，上式也成立，∴an≤(n∈N*)，

∴bn＝≤<＝－，

∴b1＋b2＋…＋bn<(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.(8分)

(3)∵a1＝，a2＝g(a1)＝，a2－a1＝－＝>0.

又∵an＋1－an＝－＝，

由迭代關(guān)系可知，an＋1－an>0，∴an≥a1＝.

又∵(2＋an)(2＋an－1)＝(2＋)(2＋an－1)＝5＋4an－1≥7，

∴≤，

∴

∴(13分)