Question

已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)求證： 數(shù)列 ｛＋ ｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an

(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(3n－1)an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

 

Answer 1

(1) an＝ ;(2) －1＜λ＜2.

【解析】

試題分析：(1)將已知an＋1＝取倒數(shù)可得: ＋1進而利用待定系數(shù)法將此式轉(zhuǎn)化為: ＋＝3從而可證數(shù)列 ｛＋ ｝是等比數(shù)列,然后應用等比數(shù)的通項公式可求得數(shù)列{an}的通項an; (2)由(1)及已知可得bn＝(3n－1)·＝n· n－1,此數(shù)列是由一個等差數(shù)列{n}與一個等比數(shù)列{ n－1}對應項的積構成的一個數(shù)列，此數(shù)列的前n項和應用乘公比錯位相減法就可求得其前n項和Tn；然后研究數(shù)列{Tn}的單調(diào)性可知：{Tn}為遞增數(shù)列，最后通過討論n的奇偶性及不等式恒成立的知識就可求得λ的取值范圍.注意不等式:對一切n∈N*恒成立等價于,同理:不等式:對一切n∈N*恒成立等價于.

試題解析：(1)由題知，＋1， . .1分

∴＋＝3， 2分

∴數(shù)列 ｛＋ ｝是以3為公比以=為首項的等比數(shù)列。

∴＋＝·3n－1＝，∴an＝ 5分

(2)由(1)知，bn＝(3n－1)·＝n· n－1，

Tn＝1×1＋2× 1＋3× 2＋…＋n· n－1， 6分

Tn＝1×＋2× 2＋…＋(n－1) n－1＋n n，

兩式相減得，

Tn＝1＋＋＝2－，

∴Tn＝4－ 10分

∵Tn＋1－Tn＝＞0，

∴{Tn}為遞增數(shù)列 .12分

①當n為正奇數(shù)時，－λ＜Tn對一切正奇數(shù)成立，

∵(Tn)min＝T1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；

②當n為正偶數(shù)時，λ＜Tn對一切正偶數(shù)成立，

∵(Tn)min＝T2＝2，∴λ＜2.

綜合①②知，－1＜λ＜2 .14分

考點：1.等比數(shù)列;2.數(shù)列的前n項和；3不等式的恒成立.