如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，∠ABC=60°，BB1=BC=2，M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N在CC1上．
（1）試確定點(diǎn)N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當(dāng)AB1⊥MN時(shí)，求二面角M-AB1-N的正切值．

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積求出向量的數(shù)量積為0，利用向量垂直的判斷定理列出方程，求出h的值．
（2）求出平面NAB1的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量的夾角．
解答：解：（1）分別以BC，BB1所在直線為y，z軸，過B且與BC垂直的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（-（0，0，2），N（0，2，h）．
∵，
∴=（0，1，h），
∴-1+2h=0，
∴h=．
即點(diǎn)N所在位置在比線段CC1的四等分點(diǎn)且靠近C點(diǎn)處．
（2）設(shè)是平面NAB1的一個(gè)法向量），則），
同理可得平面MAB1的法向量 =（0，2，1），
∴cos，
所以二面角M-AB1-N的正切值為．
點(diǎn)評(píng)：解決空間中的位置關(guān)系和度量關(guān)系的方法，常利用的方法是建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)換為向量來解決．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．證明：
（1）EE1∥平面FCC1．
（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)．
（1）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1∥平面FCC1；
（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A1BC1；
（2）求證：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點(diǎn)．
（1）證明：直線EE1∥平面FCC1；
（2）求二面角B-FC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•撫州模擬）如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，∠ABC=60°，BB1=BC=2，M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N在CC1上．
（1）試確定點(diǎn)N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當(dāng)AB1⊥MN時(shí)，求二面角M-AB1-N的正切值．

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