Question

如圖甲，⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點(diǎn)C、D在直徑AB的兩側(cè)，且∠CAB＝，∠DAB＝.沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直(如圖乙)，F為BC的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)．根據(jù)圖乙解答下列各題：

(1)求三棱錐C－BOD的體積；

(2)求證：CB⊥DE；

(3)在上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解析：　(1)∵C為圓周上一點(diǎn)，且AB為直徑，∴∠C＝，

∵∠CAB＝，∴AC＝BC，

∵O為AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB，

∵AB＝2，∴CO＝1.

∵兩個(gè)半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線(xiàn)為AB，

∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD.

∴CO就是點(diǎn)C到平面BOD的距離，

S_△BOD＝S_△ABD＝××1×＝，

∴V_C－BOD＝S_△BOD·CO＝××1＝.

(2)證明：在△AOD中，∵∠OAD＝，OA＝OD，

∴△AOD為正三角形，

又∵E為OA的中點(diǎn)，∴DE⊥AO，

∵兩個(gè)半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線(xiàn)為AB，

∴DE⊥平面ABC.

又CB⊂平面ABC，∴CB⊥DE.

(3)存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)G，G為的中點(diǎn)．證明如下：

連接OG，OF，FG，

易知OG⊥BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴AD⊥BD，

∴OG∥AD，

∵OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，

∴OG∥平面ACD.

在△ABC中，O，F分別為AB，BC的中點(diǎn)，

∴OF∥AC，

∴OF∥平面ACD，

∵OG∩OF＝O，

∴平面OFG∥平面ACD.

又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD.