Question

8．（1）已知對(duì)任意x∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范圍．
（2）已知對(duì)任意a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸軸為軸為$x=-\frac{a-4}{2}=\frac{4-a}{2}$，對(duì)對(duì)稱軸分別討論，求出a的取值范圍；
（2）函數(shù)整理為f（x）=x²+（a-4）x+4-2a=（x-2）a+x²-4x+4，可看成關(guān)于a的一次方程，
令g（a）=（x-2）a+x²-4x+4，由一次函數(shù)的性質(zhì)可得g（-1）＞0，g（1）＞0，進(jìn)而求出a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的對(duì)稱軸為$x=-\frac{a-4}{2}=\frac{4-a}{2}$…1分
①當(dāng)$\frac{4-a}{2}＜-1$，即a＞6時(shí)，…2分
f（x）的值恒大于0等價(jià)于f（-1）=1+（a-4）×（-1）+4-2a＞0，解得a＜3，…3分
不存在符合條件的a；…4分
②當(dāng)$-1≤\frac{4-a}{2}≤1$，即2≤a≤6時(shí)，…5分
 只要 $f（{\frac{4-a}{2}}）={（{\frac{4-a}{2}}）^2}+（{a-4}）×\frac{4-a}{2}+4-2a＞0$
，即a²＜0，…6分不存在符合條件的a；
③當(dāng)$\frac{4-a}{2}＞1$
，即a＜2時(shí)，
只要f（1）=1+（a-4）+4-2a＞0，即a＜1，故有．…7分
綜上可知，當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)任意x∈[-1，1]，…8分
函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于0．…9分
（2）f（x）=x²+（a-4）x+4-2a=（x-2）a+x²-4x+4．
令g（a）=（x-2）a+x²-4x+4．…（11分）
由題意，在[-1，1]上，g（a）的值恒大于0，
∴∴$\left\{\begin{array}{l}g（{-1}）=（{x-2}）×（{-1}）+{x^2}-4x+4＞0\\ g（1）=x-2+{x^2}-4x+4＞0\end{array}\right.$…（12分）
解得x＜1或x＞3．…（13分）
故當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，對(duì)任意的a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）的值恒大于0．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，題型相似，但參數(shù)不同，一個(gè)是自變量，一個(gè)是參數(shù)a，注意區(qū)別．