Question

已知f(x)=2ln 1+x +x2-ax (1)若f(x)在(0，1)上遞增，求a的取值范圍； (2)證明： n k=2 1 k -ln n+1 2 ＜ n k=2 1 k2 ＜ 2 3 ，(n∈N且n≥2).

．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在（0，1）上遞增，可得當x∈（0，1）時，f′（x）=2x-a+

1

x+1

≥0恒成立，即a≤2x+

1

x+1

，進而將問題轉化為函數恒成立問題，構造函數g（x）=2x+

1

x+1

，求出x∈（0，1）時的最值，可得答案．
（2）由（1）可得a=1時，f（x）在（0，1）上遞增，即在區(qū)間（0，1）上，f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x²，進而利用對數的運算性質，可證得結論．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（-1，+∞），f′（x）=2x-a+

1

x+1

∵f（x）在（0，1）上遞增，
∴當x∈（0，1）時，f′（x）=2x-a+

1

x+1

≥0恒成立，
即a≤2x+

1

x+1

令g（x）=2x+

1

x+1

，則當x∈（0，1）時，g′（x）=2-

1

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，1）上遞增，
∴g（x）在（0，1）上的最小值為g（0）=1
∴a≤1
證明：（2）由（1）得：當a=1時，f（x）在（0，1）上遞增
∴在（0，1）上，f（x）＞f（0）⇒ln（x+1）＞x-x²
令x=

1

n

（n≥2），則ln(

1

n

+1)＞

1

n

-

1

n2

⇒ln

n+1

n

＞

n-1

n2

∴

n

k=2

(

1

k

-

1

k2

)＜ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln

n+1

2

∴ n k=2 1 k -ln n+1 2 ＜ n k=2 1 k2 …(10分) 又 n k=2 1 k2 ＜ n k=2 1 k2- 1 4 =4 n k=2 1 (2k-1)(2k+1) =2 n k=2 ( 1 2k-1 - 1 2k+1 )=2( 1 3 - 1 2n+1 )＜ 2 3 …(11分) ∴ n k=2 1 k -ln n+1 2 ＜ n k=2 1 k2 ＜ 2 3 …(12分)

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，不等式的證明，是函數與不等式的綜合應用，難度較大，（2）的解答中要注意應用（1）的結論．