Question

已知直線l₁為曲線y=x²+x-2在點(diǎn)（1，0）處的切線，l₂為該曲線的另一條切線，且l₁⊥l₂．
（1）求直線l₂的方程；（2）求直線l₁、l₂和x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）欲求直線l₂的方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合l₁⊥l₂即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．
（2）先通過(guò)解方程組得直線l₁和l₂的交點(diǎn)的坐標(biāo)和l₁、l₂與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形的面積公式教育處所求三角形的面積即可．

解答： 解：（1）y′=2x+1．直線l₁的方程為y=3x-3．
設(shè)直線l₂過(guò)曲線y=x²+x-2上 的點(diǎn)B（b，b²+b-2），則l₂的方程為y=（2b+1）x-b²-2
因?yàn)閘₁⊥l₂，則有2b+1=-

1

3

，所以b=-

2

3

所以直線l₂的方程為y=-

1

3

x-

22

9

…6分
（2）解方程組

y=3x-3 y=- 1 3 x- 22 9

得

x= 1 6 y=- 5 2

，
所以直線l₁和l₂的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

6

，-

5

2

）
l₁、l₂與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、（-

22

3

，0）．
所以所求三角形的面積S=

1

2

×

25

3

×|-

5

2

|=

125

12

…12分．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩條直線垂直的性質(zhì)以及分析問(wèn)題和綜合運(yùn)算能力．本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．