Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（a∈R）
（1）若a=2，解關于x的不等式f（x）＜x；
（2）若對任意的x∈（0，4]都有f（x）＜4，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=2時，不等式f（x）＜x即x|x-2|＜x，再分x＞0、x＜0兩種情況，分別求得x的范圍，可得不等式f（x）＜x的解集．
（Ⅱ）由題意可得對任意的x∈（0，4]，都有f（x）＜4，即x-

4

x

＜a＜x+

4

x

 恒成立．設g（x）=x-

4

x

，p（x）=x+

4

x

，利用導數(shù)求的g（x）的最大值和p（x）的最小值，可得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，不等式f（x）＜x即x|x-2|＜x，
顯然x≠0，當x＞0時，原不等式可化為：|x-2|＜1，即-1＜x-2＜1，
解得 1＜x＜3．
當x＜0時，原不等式可化為：|x-2|＞1，即x-2＞1 或x-2＜-1，求得x＜0．  
綜上得：當a=2時，原不等式的解集為{x|1＜x＜3 或x＜0}．
（Ⅱ）∵對任意的x∈（0，4]都有f（x）＜4，即-4＜x（x-a）＜4，
對任意的x∈（0，4]都有x-

4

x

＜a＜x+

4

x

 恒成立．
設g（x）=x-

4

x

，p（x）=x+

4

x

，x∈（0，4]，如圖所示：
問題等價于x∈（0，4]時，g（x）_max＜a＜p（x）_min．
∵g′（x）=1+

4

x2

＞0，∴函數(shù)g（x）在（0，4]上單調遞增，g（x）_max=g（4）=3．
又∵p′（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，∴p（x）在（0，2]上遞減，在[2，4]上遞增，
∴p（x）_min=p（2）=4 a∈（3，4）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．