Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x-1（a為實數(shù)）．
（1）若a＜0，用函數(shù)單調(diào)性定義證明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若a=0，y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，求函數(shù)y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，對任意實數(shù)x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）與0的關(guān)系，化簡可得f（x₁）-f（x₂）＜0，則為增函數(shù)；
（2）當(dāng)a=0，y=f（x）=2^x-1，因y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，可得到y(tǒng)=g（x）的解析式．

解答：解：（1）設(shè)任意實數(shù)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(2x1+a•2-x1-1)-(2x2+a•2-x2-1)=(2x1-2x2)+a(2-x1-2-x2)=(2x1-2x2)•

2x1+x2-a

2x1+x2

∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0；
∵a＜0，∴2x1+x2-a＞0．
又2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）是增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=0時，y=f（x）=2^x-1，所以2^x=y+1，所以x=log₂（y+1），y=g（x）=log₂（x+1）．

點評：此題主要考查函數(shù)當(dāng)調(diào)性定義的證明方法及相關(guān)計算．