Question

投擲A，B，C三個(gè)紀(jì)念幣，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

將這三個(gè)紀(jì)念幣同時(shí)投擲一次，設(shè)ξ表示出現(xiàn)正面向上的個(gè)數(shù)．
（1）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，看出變量的所有可能取值，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫出變量取不同值時(shí)的概率，寫出分布列和期望．
（2）由題意知本題要使的P（ξ=1）的值最大，題目最容易考慮到的一種方法是把P（ξ=1）的值同其他幾個(gè)變量的概率值進(jìn)行比做差比較，使得差大于零，解不等式組，得到a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意知ξ個(gè)正面向上，3-ξ個(gè)背面向上．
ξ的可能取值為0，1，2，3．
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到變量的分布列，
，
，，
．
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為．
（2），
，
．
由和0＜a＜1，
得，
即a的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合題，解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡單的多．