AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證：AB=2BC．

【答案】分析：證法一、可以連接OD，構(gòu)造直角三角形，然后求出∠DCO，然后根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得出結(jié)論；
證法二、連接OD，DB，再證明△ADB≌△CDO，得到AB=OC，轉(zhuǎn)化為證明CO=2BC
解答：證明：法一：連接OD，則：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，
所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以O(shè)C=2OD，
即OB=BC=OD=OA，
所以AB=2BC．
證法二：連接OD、BD．
因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB=90°，
AB=2OB．
因為DC是圓O的切線，所以∠CDO=90°．
又因為DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO．
即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是切線的性質(zhì)，即切線垂直過切點(diǎn)的半徑，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，解直角三角形即可得到答案．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=6，AE=
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，求BD和BC的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

9、AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證：AB=2BC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題分項版理科數(shù)學(xué)之專題十七選修系列 題型：解答題

21（從以下四個題中任選兩個作答，每題10分）

（1）幾何證明選講

AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證AB=2BC

（2）矩陣與變換

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設(shè)k≠0，k∈R，M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實數(shù)k的值

（3）參數(shù)方程與極坐標(biāo)

在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值

（4）不等式證明選講

已知實數(shù)a,b≥0，求證：

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題分項版理科數(shù)學(xué)之專題三數(shù)列 題型：解答題

21（從以下四個題中任選兩個作答，每題10分）

（1）幾何證明選講

AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證AB=2BC

（2）矩陣與變換

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設(shè)k≠0，k∈R，M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實數(shù)k的值

（3）參數(shù)方程與極坐標(biāo)

在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值

（4）不等式證明選講

已知實數(shù)a,b≥0，求證：

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

21（從以下四個題中任選兩個作答，每題10分）

（1）幾何證明選講

AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證AB=2BC

（2）矩陣與變換

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設(shè)k≠0，k∈R，M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實數(shù)k的值

（3）參數(shù)方程與極坐標(biāo)

在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值

（4）不等式證明選講

已知實數(shù)a,b≥0，求證：

 

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