Question

過原點(diǎn)O作圓C：x²+y²+6x=0的弦OA．
（1）求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）延長OA到N，使|OA|=|AN|，求N點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）圓C：x²+y²+6x=0 即（x+3）²+y²=9，由題意可得 CM⊥OA，可得點(diǎn)M在以線段OC為直徑的圓上．再根據(jù)|OC|=3，求得圓M的方程．
（2）設(shè)圓和x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D（-6，0），由題意可得AC是△OND的中位線，AC=

1

2

ND、|ND|=2|AC|=6，可得點(diǎn)N在以D為圓心、半徑等于6的圓上，由此求得點(diǎn)N的軌跡方程．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²+6x=0 即（x+3）²+y²=9，表示以點(diǎn)C（-3，0）為圓心、半徑等于3的圓．
由題意可得 CM⊥OA，可得點(diǎn)M在以線段OC為直徑的圓上．
再根據(jù)|OC|=3，可得圓M的方程為(x+

3

2

)2+y²=

9

4

．
（2）設(shè)圓和x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D（-6，0），由于A為線段ON的中點(diǎn)，C為線段OD的中點(diǎn)，
∴AC是△OND的中位線，AC∥

1

2

ND，且AC=

1

2

ND．
∴|ND|=2|AC|=6，故點(diǎn)N在以D為圓心、半徑等于6的圓上，
故點(diǎn)N的軌跡方程為 （x+6）²+y²=36．

點(diǎn)評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，且點(diǎn)的軌跡方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．