Question

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，M為拋物線上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且M在準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)M′，則在△MM′F的重心、外心和垂心中，有可能仍在此拋物線上的有

1. A.
   0個(gè)
2. B.
   1個(gè)
3. C.
   2個(gè)
4. D.
   3個(gè)

Answer 1

B
分析：利用拋物線的定義推出MF=MM′，說明三角形是等腰三角形，推出△MM′F的重心、外心和垂心的位置，利用三角形的斜邊大于直角邊，推出結(jié)果．
解答：△MM′F的外心一定不在拋物線上，
因?yàn)橥庑牡饺齻�(gè)頂點(diǎn)的距離相等，外心為C，CM大于C到準(zhǔn)線的距離，C不滿足拋物線的定義；
△MM′F的垂心為O也可能在拋物線上，
因?yàn)镸F=MM′，當(dāng)三角形FMM'為等腰直角三角形時(shí)，垂心與M重合，垂心在拋物線上；
△MM′F的重心為O，也不在拋物線上，
因?yàn)镸F=MM′，重心在∠MFM′的平分線上，因而有FO=OM，OM大于O到準(zhǔn)線的距離，
不滿足拋物線的定義；
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系．考查邏輯推理能力．